\documentclass{tudphygp}
\usepackage{tudphymd,mhchem}
\usepackage{lmodern}

\versuch{Elektronenbeugung}{EB}
\author{M.~Kreller,i.A. Dr.~Escher}
\bearbeitet{A.~Otto}{}

\begin{document}
\maketitle

\section{Versuchsbeschreibung}
Diesem Versuch beschäftigt sich mit der Wellennatur des Elektrons. Dazu wird ein gebündelter
Elektronenstrahl an einem Graphit-Target gestreut und mit Hilfe eines Leuchtschirms betrachtet. 
Mit der Braggschen Streubedingung lässt sich aus der Analogie zur Röntgenbeugung die Wellenlänge 
des Elektrons bestimmen.
\begin{figure}[htb]
\centering
\includegraphics[width=0.8\textwidth]{schema}
\caption{Versuchsanordnung.\label{schema}}
\end{figure}
Der Aufbau des Versuches ist in Abbildung \ref{schema} dargestellt. Eine Kathode wird in einer 
evakuierten Glasröhre mit Hilfe einer Glühwendel auf eine Temperatur von einigen hundert
\SI{}{^\circ C} gebracht. Die Temperaturerhöhung führt dazu, dass ein sehr kleiner Bruchteil der 
Elektronen eine Energie erhält, die es ihnen erlaubt, die Potentialbarriere zwischen dem Inneren 
der Kathode und dem umgebenden Vakuum zu überwinden und aus der Kathode zu entweichen. Diese 
Elektronen werden durch die positive Anodenspannung beschleunigt. Der Wechsel von geerdeten und
auf positivem Potential liegenden rohrförmigen Elektroden dient der Fokussierung des so erzeugten 
Elektronenstrahls. Am Abschluss dieser Anordnung trifft dieser auf ein Target aus polykristallinem 
Graphit. Dort kommt es zu einer Streuung der Elektronen. Hinter dem Target befindet sich ein 
Schirm, welcher mit einer phosphoreszierednen Schicht überzogen ist. Wenn ein Elektron auf diese 
Schicht trifft, regt es diese zum Leuchten an und wird auf diese Weise sichtbar gemacht.

\subsection{Versuchsvorbereitung}
\begin{figure}[htb]
\centering
\includegraphics[width=9cm]{netzteil}
\caption{Netztgerät: (1) Ein/Aus-Schalter; (2) Potentiometer zum direkten kontinuierlichen Einstellen der Ausgangsspanung
oder zur Vorwahl eines oberen Grenzwertes bei externer Steuerung der Ausgangsspannung über Eingang (9);
(3) Digitalanzeige für die Ausgangsspannung; (4) Umschalter zur Aktivierung der Ausgänge (Stellung rechts:
Ausgang (6); Stellung links: Ausgang (7); Stellung Mitte: Ausgänge (6) und (7) in Serie geschaltet);
(5) Leuchtdioden zur Anzeige des aktivierten Ausgangs; (6) bzw. (7) Ausgänge zur Entnahme der über das Potentiometer
(2) eingestellten oder über Eingang (9) extern gesteuerten Spannung (Ausgangsspannung strombegrenzt und erdfrei);
(8) Erdbuchse, galvanisch mit Schutzerde verbunden; (9) Steuereingang zur externen Steuerung der Ausgangsspannung
unterhlab eines oberen Grenzwertes, der mit Potentiometer (2) eingestellt wird; (10) (Gehäuserückseite)
\SI{6,3}{V}-Ausgang, bis \SI{2}{A} belastbar zur Heizspannungsversorgung.\label{netzteil}}
\end{figure}
Schließen die Sie die Elektronenbeugungsröhre wie in Abbildung \ref{schema} dargestellt an das Netzgerät an.
Das Netzgerät ist in Abbildung \ref{netzteil} dargestellt.
Die Zuleitungen (10) für die Glühwendel befinden sich an der Rückseite des Netzgerätes.
Legen sie eine positive Spannung
an die Anode. Die Kathode legen sie über ein Multimeter an den mit "`-"' gekennzeichneten Pol
des Ausgangs (6). Letzteren verbiden Sie mit der Erdbuchse (8). Das Multimeter sollte auf den Vollausschlag \SI{2}{mA} DC
eingestellt sein. Drehen Sie den Hochspannungsregeler (2) auf minimale Spannung. Schalten Sie das Netzgerät ein und drehen
Sie die Spannung langsam hoch. Der Strom sollte kleiner als \SI{0,2}{mA} bleiben.

\subsection{Versuch: Wellennatur des Elektrons}
Stellen Sie verschiedene Werte für die Spannung ein und messen Sie die Durchmesser $d$ aller sichtbaren Ringe
mit einer Schieblehre. Schätzen Sie die Breite der Ringe ab. Der Mittelpunkt der Glaskugel fällt nicht mit dem Target 
zusammen. Berechnen Sie den Abstand von Target und dem Bild auf dem Leuchtschirm nach Abbildung \ref{korrektur} und 
berechnen Sie den Streuwinkel $2\,\theta$. Berechnen Sie die Wellenlänge und tragen Sie den Impuls der Elektronen
gegen die Wellenlänge auf. Bestimmmen Sie die Proportionalitätskonstante und vergleichen Sie mit Gleichung (\ref{B1}).
\begin{figure}[h]
\centering
\includegraphics[width=10cm]{korrektur}
\caption{Korrektur des Abstandes des Bildes auf dem Leuchtschirm vom Target. Es sind $L=\SI{140}{mm}$ und 
$R=\SI{66}{mm}$. $R$ ist der Innendurchmesser der Kugel. Die Dicke der Glasschicht beträgt \SI{1,5}{mm}.
\label{korrektur}}
\end{figure}

\section{Theoretische Grundlagen}
\subsection{Der Welle-Teilchen Dualismus}
Seit der Veröffentlichung der Relativitätstheorie von Albert Einstein ist bekannt, dass jede Energie $E$
gemäß der Beziehung $E=m\,c^2$ eine Masse $m$ repräsentiert ($c$: Lichtgeschwindigekit).
Diese Interpretation hat zur Folge, dass sich auch dem Licht eine Masse zuweisen lässt.
Seit der Arbeiten von Max Planck zur Erklärung der Strahlung eines schwarzen Körpers weiss man zudem, dass
die Energie elektromagnetischer Strahlung mit der Frequenz dieser Strahlung über die Gleichung
$E=h\nu$ verknüpft ist ($h$: Plancksches Wirkungsquantum).
Da Photonen sich mit Lichtgeschwindigkeit bewegen, erhält man für ihren Impuls den Ausdruck
\begin{equation}
p=\frac{h\nu}{c}=\frac{h}{\lambda}\,\,.\label{B1b}
\end{equation}
Dabei ist $\lambda$ die Wellenlänge des Lichtes. Dass sich Photonen in der Tat wie Teilchen verhalten, wurde
1922  von Arthur Compton mit dem später nach ihm benannten Effekt eindrucksvoll bewiesen.

Wenn das Licht gleichzeitig die Eigenschaften einer Welle und die Eigenschaften eines Teilchens aufweist, dann stellt sich
die Frage, ob umgekehrt Teilchen auch Welleneigenschaften besitzen.
\begin{figure}[htb]
\centering
\includegraphics[width=8cm]{hexagonal}
\hspace{1cm}
\includegraphics[width=5cm]{graphit}
\caption{Netzebenen im Graphit. Der rechte Teil der Abbildung zeigt den dreidimensionale Aufbau des Graphit.
Die Schichtstruktur ist hervorgehoben.
Die schraffierten Ebenen sind im linken Teil der Abbildung gesondert dargestellt.\label{hexagonal}}
\end{figure}
Dieser Gedanke geht auf Louis de Broglie zurück, der ihn 1924 in eine berühmte Formel fasste.
Er forderte für die Beziehung zwischen Impuls und Wellenlänge eines Teilchens die folgende
Gleichung (\ref{B1b}) sehr ähnliche Form:
\begin{equation}
p=\frac{h}{\lambda}\,\,.\label{B1}
\end{equation}
Bewegt sich ein beliebiges Teilchen mit einer Geschwindidgkeit $v$ -- wobei
im Folgenden nur der nichtrelativistischen Fall $v\ll c$ betrachtet wird -- so lässt sich demnach
$\lambda=h/(mv)$ schreiben, oder, wenn man die Energie $E$ des Teilchens zugrunde legt
\begin{equation}
\lambda=\frac{h}{\sqrt{2\,m\,E}}\,\,.
\end{equation}
Durchlaufen Elektronen eine Potentialdifferenz $U$, so werden Sie beschleunigt und erhalten eine kinetische Energie $E$,
für die gilt:
\begin{equation}
E=\frac{p^2}{2\,m}=e\,U\,\,.
\end{equation}
Dabei ist $e$ die Elementarladung. Man erhält dann für die Wellenlänge
\begin{equation}
\lambda=\frac{h}{\sqrt{2\,m\,e\,U}}\,\,.
\end{equation}
Eine Wellenlänge von \SI{2}{\AA} (typischer Netzebenenabstand in Graphit) entspricht demnach einer Spannung von 
$U=\SI{3,76}{kV}$.

Die Beziehung (\ref{B1}) wurde von Clinton J. Davisson und Lester H. Germer 1927 in einem Experiment bewiesen. Sie nutzten
die Analogie von elekromagnetischen Wellen und Teilchen, indem Sie das bereits lange vorher bekannte
Phänomen der Röntgenbeugung an Kristallgittern auf Elektronen übertrugen.

\subsection{Röntgenbeugung}
Generell tritt das Phänomen der Beugung gerade dann auf, wenn die Wellenlänge in der Größenordnung der
Beugungsstrukturen ist. Für Röntgenstrahlung, deren Wellenlänge im Bereich von \SI{e-10}{m} liegt, lässt sich so eine
Struktur nicht mechanisch herstellen. Da trifft es sich gut, dass die Abstände in Kristallgittern gerade die gleiche
Größenordnung haben. Dies macht Kristalle zu einem natürlichen Beugungsobjekt für Röntgenstrahlung.
\begin{figure}[htb]
\centering
\includegraphics[width=10cm]{bragg}
\caption{Braggbedingung für konstruktive Interferenz von Röntgenstrahlen bei Beugung an einem
Kristallgitter.\label{bragg}}
\end{figure}
Im vorliegenden Experiment wird ein Graphit-Target verwendet. Graphit besteht aus Stapeln von Ebenen mit hexagonaler
Symmetrie (siehe Abbildung \ref{hexagonal} rechts ). Diese Ebenen bezeichnet man auch als Basalebenen.
Der linke Teil der Abbildung stellt eine dieser Basalebenen in der Draufsicht dar.
Die eingezeichneten Linien markieren Ebenen welche senkrecht zu den Basalebenen verlaufen. Zwei Scharen von Ebenen
mit Ebenenabständen $d_1$ und $d_2$ sind hervorgehoben.
Man bezeichnet solche aus den Atomen eines Kristalls aufgebauten Ebenen auch als Netzebenen.

Wird Röntgenstrahlung auf ein Kristallgitter gerichtet, so wird es an den Atomen der Kristallebenen elastisch gestreut
oder, in anderen Worten, es wird von der Ebene reflektiert.
Die von benachbarten Ebenen reflektierten Röntgenstrahlen können miteinander
interferieren. Dies ist in Abbildung \ref{bragg} schematisch dargestellt. Wenn der Gangunterschied zwischen der
an der oberen und der an der darunterliegenden Kristallebene gestreuten Röntgenstrahlung ein Vielfaches der Wellenlänge
beträgt, kommt es zur konstruktiven Interferenz. Dies ist genau dann der Fall, wenn gilt
\begin{equation}
2 \,d\,\sin\theta=n\lambda\,\,.\label{B2}
\end{equation}
Dabei ist $d$ der Abstand der Kristallebenen, $n$ die Beugungsordnung und $\lambda$ die Wellenlänge der Röntgenstrahlung.
Diese Bedingung ist unter der Bezeichnung Bragg-Bedingung bekannt, der Prozess der Refelxion von Röntgenstrahlung
an Kristallebenen wird auch als Bragg-Reflexion bezeichnet.
\begin{figure}[htb]
\centering
\includegraphics[width=10cm]{polycrystal3}
\caption{Bedugung von Röntgenstrahlung bzw. von Elektronen an einem Polykristall.\label{polycrystal3}}
\end{figure}

Im vorliegenden Versuch wird statt eines perfekten unendlich ausgedehnten Kristalls (Einkristall)
eine polykristalline Graphitschicht verwendet. Da diese aus
kleinen, beliebig zueinander orientierten Kristalliten besteht, kann eine bestimmte Netzebenenschar relativ zum
Röntgenstrahl eine beliebige Orientierung haben. Dieser Zusammenhang  ist in Abbildung \ref{polycrystal3} veranschaulicht.
Eine bestimmte Netzebene ist dabei hervorgehoben, die Darstellung gilt aber auch für jede andere
Netzebene.
Die Reflexion an einer beliebigen Ebene kann in vielen verschiedenen Richtungen erfolgen. Konstruktive Interferenz
kann es jedoch nur für die Richtungen geben, für die Gleichung (\ref{B2}) erfüllt ist. Da die Orientierung der
Kristallite in allen Raumrichtungen liegen kann, bilden die in konstruktiver Interferenz gestreuten Röntgenstrahlen
Kreise um die Richtung des einfallenden Strahles. Für andere Netzebenen ergeben sich ebenfalls Kreise,
allerdings mit anderen Durchmessern. Aus Gleichung (\ref{B2}) folgt, dass der Durchmesser
umso größer sein muss, je kleiner der Netzebenenabstand $d$ ist.

Welche Durchmesser sind beim Graphit zu erwarten?
Auf Grund der großen Anisotropie von Graphit bleibt die Schichtstruktur im Wesentlichen auch bei polykristallinen
Schichten erhalten. Lediglich die Orientierung der Kristallite innerhalb dieser Schichten ist beliebig.
Im vorliegenden Versuch ist die Oberfläche des Graphit-Targets in etwa parallel zu den Basalebenen. Der Elektronenstrahl
trifft daher (siehe Abbildung \ref{schema} )senkrecht auf diese Ebenen. Man kann sich leicht überlegen, dass dann bei
der gegebenen Geometrie von diesen Ebenen keine Reflexionen zu sehen sein wird.
Nur Ebenen, welche senkrecht zu den Basalebenen liegen, können zur Reflexion führen. Aus Röntgenversuchen ist
bekannt, dass von allen möglichen Ebenen, welche man senkrecht zu diesen Ebenen durch die Atome de Gitters legen kann,
nur die beiden in Abbildung \ref{hexagonal} eingezeichneten zu einer sichtbaren Refelxion führen.

Wenn man nun statt Röntgenstrahlen Elektronen verwendet kann man die de-Broglie-Beziehung (\ref{B1}) testen.
Wenn sich die Elektronen nicht wie Wellen verhalten, sollte man ein vollständig diffuses Streubild erwarten, dass
nur schwach von der Energie der Elektronen abhängt. Verhalten sich Elektronen dagegen wie Wellen mit einer durch
(\ref{B1}) gegebenen Wellenlänge, so sollte man auf dem phosphoreszierenden Schirm hinter dem Target analog
zur Röntgenbeugung Ringe erkennen. Der Radius dieser Ringe muss in diesem Fall mit der Wellenlänge, oder in
anderen Worten, mit der Energie der Elektronen korreliert sein.

%\section{Auswertung der Messergebnisse}


%Es konnten bis zu einer Spannung von 2.5~kV auf dem Leuchtschirm jeweils zwei Ringe beobachtet
%werden.
%Bei Spannungen unterhalb 2.5~keV sind die Ringe kaum noch zu erkennen. Die Durchmesser der Ringe
%wurden
%von 2.5~keV bis 5~keV in Schritten von 0.5~keV gemessen. Mit Ausnahme der Spannung $U$=2.5~keV
%wurden jeweils
%zwei Werte notiert, einer für den äusseren und einer für den inneren Rand des Ringes.

%Aus Abbildung \ref{korrektur} ergibt sich für den Abstand $D$ bei einem Durchmesser $d$ der
%beobachteten Ringe
%\begin{equation}
%D=R\Bigl[1-\sqrt{1-\Bigl(\frac{d/2}{R}\Bigr)^2}\,\,\Bigr]\,\,.
%\end{equation}
%Für den Winkel $\theta$ gilt
%\begin{equation}
%\tan(2\theta)=\frac{d}{2}\frac{1}{L-D}\,\,.
%\end{equation}
%Aus Abbildung \ref{hexagonal} folgt für die Ebenenabstände $d_1$=2.14~{\AA} und $d_2$=1.24~{\AA}.
%Damit lässt sich über Gleichung (\ref{B2}) die Wellenlänge berechnen.
%Die Tabellen \ref{Messwerte1} und \ref{Messwerte2} zeigen die gemessenen Werte und die daraus
%berechneten Wellenlängen.
%Der Fehler bestimmt sich hauptsächlich aus der Ungenauigkeit in der Bestimmung der
%Kreisdurchmesser.
%Da $D\ll L$ und $\theta \ll 1$,  gilt näherungsweise\nolinebreak ~$\lambda=2\,\,d_i\theta$ (i=1,2)
%und $\theta=d/(4\,L)$.
%Damit folgt für den Fehler von $\lambda$
%\begin{equation}
%\delta \lambda=\frac{d_i}{2\,L}\,\,\delta d\,\,,i=1,2\,\,.
%\end{equation}
%Für $\delta d$ wurde hier ein Wert von $\pm$0.5~mm für den kleineren Ring und $\pm$1~mm für den
%größeren
%Ring angenommen. Bei der Spannung $U$=2.5~keV wurde $\pm$1~mm bzw. $\pm$2~mm angenommen

%Aus den für $\lambda$ ermittelten Werten wurden Mittelwerte gebildet und gegen
%$1/\sqrt{E/\textrm{keV}}$ aufgetragen.
%Durch diese Werte wurde eine Ausgleichsgerade gelegt.
%Das Ergebnis zeigt Abbildung \ref{Gerade}. Für die Ausgleichsgerade $\lambda=a_0+a_1/\sqrt{E/keV}$
%ergibt sich $a_0$=0.00647$\pm 0.05$~{\AA} und $a_1$=0.38303$\pm 0.15$~{\AA}.
%Der Fehler lässt sich über die beiden Grenzgeraden, welche die Fehlerbalken der Messwerte
%gerade noch treffen, abschätzen. Der Messwert für die Spannung $U$=2.5~keV wurde dabei nicht
%verwendet.
%Nach Gleichung (\ref{B1}) ergibt sich für die Steigung der Geraden 0.388.
%Die übereinstimmung mit den gemessenen Werten ist erstaunlich gut.

%\begin{figure}[p]
%\centering
%\includegraphics[width=10cm,clip]{Gerade.eps}
%\caption{Ausgleichsgerade zur überprüfung der Bragg-Bedingung. Der Fehler wurde über die beiden
%Grenzgeraden ermittelt.
%Der letzte Messwert wurde dabei nicht verwendet.\label{Gerade}}
%\end{figure}


%\begin{table}[p]
%\centering
%\renewcommand{\arraystretch}{1.2}
%\begin{tabular}[htb]{|c|c|c|c|c|c|}\hline
%$U$/keV&$d_I$&$d_A$&$\bar{d}$&$\theta$/rad&$\lambda$/{\AA}\\ \hline
%5&20.6&23.9&22.3&0.0397&0.170$\pm0.002$\\
%4.5&22.8&26.7&24.8&0.0441&0.0189$\pm0.002$\\
%4&25.0&28.7&26.9&0.0478&0.0205$\pm0.002$\\
%3.5&26.2&29.4&27.8&0.0495&0.0212$\pm0.002$\\
%3&27.2&32.1&29.7&0.0528&0.0226$\pm0.002$\\
%2.5&-&-&34.2&0.0608&0.0260$\pm0.003$\\\hline
%\end{tabular}
%\caption{Gemessene Durchmesser und berechnete Wellenlängen für den kleineren Ring
%($d_1=21.4$~{\AA}).
%Die Größen $d_I$ und $d_A$ bezeichnen den inneren bzw. den äußeren Durchmesser der Ringe.
%Die Größe $\bar{d}$ bezeichnet den Mittelwert aus $d_I$ und $d_A$.
%\label{Messwerte1}}
%\end{table}



%\begin{table}[p]
%\centering
%\renewcommand{\arraystretch}{1.2}
%\begin{tabular}[htb]{|c|c|c|c|c|c|}\hline
%$U$/keV&$d_I$&$d_A$&$\bar{d}$&$\theta$/rad&$\lambda$/{\AA}\\ \hline
%5.0&37.6&42.9&40.3&0.0714&0.176$\pm0.002$\\
%4.5&41.3&46.4&43.9&0.0777&0.191$\pm0.002$\\
%4.0&42.7&48.2&45.5&0.0805&0.198$\pm0.002$\\
%3.5&45.6&52.6&49.1&0.0868&0.213$\pm0.002$\\
%3.0&49.2&56.1&52.7&0.0930&0.228$\pm0.003$\\
%2.5&-&-&54.1&0.0955&0.235$\pm0.003$\\\hline
%\end{tabular}
%\caption{Gemessene Durchmesser und berechnete Wellenlängen für den größeren Ring
%($d_1=1.23$~{\AA}).
%Die Größen $d_I$ und $d_A$ bezeichnen den inneren bzw. den äußeren Durchmesser der Ringe.
%Die Größe $\bar{d}$ bezeichnet den Mittelwert aus $d_I$ und $d_A$.
%\label{Messwerte2}}
%\end{table}

\frage{Berechnen Sie die Abstände der Ebenen in Abbildung \ref{hexagonal} ! ($a=\num{0,1425}$)}
\frage{Welche Energie hat eine Elektrone, dessen Wellenlänge gerade den Abständen $d_1$ und $d_2$ aus
       Abbildung \ref{hexagonal} entspricht?}
\frage{Der Ebenenabstand für die in Abbildung \ref{hexagonal} gezeigten (im rechten Teil 
       hervorgehobenen) Ebenen beträgt etwa \SI{3,4}{\AA}. Berechnen Sie daraus den Abstand 
       benachbarter Atome $a$ (Hinweis: Das Atomgewicht von Graphit beträgt \SI{12}{g/mol}, die Dichte 
       beträgt \SI{2,25}{g/cm^3})!}
\frage{Relativistische Effekte müssen ab einer Energie von etwa $\num{0,1}\,m\,c^2$ berücksichtigt werden.
       Welche Spannung wäre notwendig, um solche relativistische Elektronen zu erzeugen?}
\frage{Bei Beugungsexperimenten mit sichtbarem Licht verwendet man zur Beugung des Lichtes mechanich
       hergestellte Gitter. Warum geht das mit Röntgenstrahlung  nicht?}

\buch{Ott93}{G.~Otter, R.~Honecker}{Atome--Moleküle--Kerne, Band I Atomphysik}{Teubner-Ver\-lag}{Stuttgart 1993}
\buch{Ash01}{N.~W.~Ashcroft, N.~D.~Mermin}{Solid State Physics}{Harcourt Brace College Publ.}{1976}

\end{document}
