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\pagestyle{fancy}

 \title{Versuch IF \\ Michelson- Interferometer \\}
 \author{bearbeitet von \\ M. Kreller \\ i.A. Dr. Escher}

\begin{document}
\thispagestyle{empty}
\begin{table}[h]
\begin{tabular}{|c|c|}
\hline
& \\
\hspace{0.7cm} \begin{LARGE}Technische Universität Dresden \end{LARGE} \hspace{0.7cm} &
\hspace{1cm}Physikalisches Praktikum \hspace{1cm} \\
\begin{large} Fachrichtung Physik \end{large}               & \\
\begin{footnotesize} L.Jahn, H. Lichte, E. Koske 10/ 99 \end{footnotesize}            & Versuch:
Michelson- Interferometer
\begin{LARGE} IF \end{LARGE} \\
\begin{footnotesize} bearbeitet 03/ 2004 \end{footnotesize} & \\
\hline
\end{tabular}
\end{table}
\begin{huge}\textbf{ Michelson- Interferometer }\end{huge}\\ \\
\begin{LARGE} Optische Interferenzen \end{LARGE}

\tableofcontents
\newpage

\section{Aufgabenstellung}
\begin{enumerate}
	\item Justierung eines Michelson-Interferometers.
	\item Anwendung des Interferometrs zur Längenmessung (thermische Ausdehnung; Hysterese eines
	Piezo-Aktors) und zur Bestimmung der Druckabhängigkeit der Brechzahl von Luft.
	\item Ziel: Kennenenlernen von Interferenz-Apparaten als hochempfindliche Längenmessgeräte
	und in Hinblick für das Verständnis der optischen und Elektronen-Holographie.
\end{enumerate}

\section{Grundlagen optischer Interferenzen}
\subsection{Zweistrahl-Interferenz ebener Wellen}
	Die Zeit-und Ortsabhängigkeit der Elongation $\xi$ (z.~B.~
	elektrische Feldstärke $\vec \xi= \vec E(z,t)$)
	einer sich in positiver (oberes Vorzeichen) oder negativer $z$-
	(bzw.~$\vec r$-) Richtung ausbreitenden {\bf ebenen Welle} kann
	beschrieben werden durch
	\begin{equation}
	\xi(z,t)=\hat \xi\,e^{j(\omega t\mp kz+\varphi)}
	\quad;\quad{\rm bzw.}\quad
	\xi(\vec r,t)=\hat \xi\,e^{j(\omega t\mp \vec k\vec r+\varphi)}
	\quad.
	\label{if01}
	\end{equation}
	(Es bedeuten: $\hat \xi$~-~Amplitude; $(\omega t\mp kz+\varphi)$~-~Phase;
	$k=2\pi/\lambda$~-~Wellenzahl;~ $\omega= 2\pi/T$~-~Kreisfrequenz;
	$\varphi$~-~Nullphasenwinkel).
	Die Phasengeschwindigkeit der Welle, $v_{ph}$, im Vakuum gleich der
	Lichtgeschwindigkeit $c_{vac}=c_0$, folgt aus der Bedingung, daß die
	Phase $(\omega t-kz+\varphi)$ konstant
	ist, zu $\frac{dz}{dt}=v_{ph}=\frac{\omega}{k}$.
	{\bf Interferenzen} entsteht immer, wenn zwei (oder mehrere)
	Wellenzüge an einem Ort zusammnetreffen. Die Wellenerregung $\xi_{res}$ kann
	durch {\bf ungestörte Überlagerung (Superposition}, Addition) berechnet
	werden: Jede Welle breitet
	sich so aus, als wäre die andere nicht vorhanden. Je nach Phasenlage
	verstärken oder schwächen die Wellen einander. Die an
	den Begrenzungen auftretenden
	Beugungserscheinungen spielen bei den Interferenzapparaten keine Rolle. \\
	Die wichtigste {\bf Voraussetzung für Beobachtbarkeit} von Interferenzen
	ist, daß die beiden zu überlagernden Wellenzüge (bei Ausbreitung in z-Richtung)
	\begin{equation}
	\xi_1(z,t)=\hat \xi_1\,e^{j(\omega t-kz_1+\varphi_1)}\quad {\rm und}\quad
	\xi_2(z,t)=\hat \xi_2\,e^{j(\omega t-kz_2+\varphi_2)}\quad
	\label{if02}
	\end{equation}
	{\bf kohärent} sind, d.~h. ein feste Phasenbeziehung zueinander haben.
	$\omega$ und $t$ sind nicht zu beeinflussen.
	Die {\bf Phasendifferenz}
	beider Wellen ist unter Berücksichtigung eines zweiten
	Mediums ($k_2=2\pi/\lambda_2$):
	$\Delta \Phi=(k_1z_1+\varphi_1)-(k_2z_2+\varphi_2)$.\\
	Eliminieren sich, wie im vorliegenden Experiment, die
	paarweise auftretenden Phasensprünge infolge von
	Reflexionen am festen Ende, so ist die Ursache für
	die Phasendifferenz die Differenz der Größen $k\,z$ bzw.~$n\,z$. Letztere
	wird  als {\bf optische Weglänge} bezeichnet. ($n$~=~Brechzahl).
	Unter dem {\bf Gangunterschied} versteht man die {\bf Differenz
	der optischen Weglängen}~ ~$\Delta=(n_1z_1-n_2z_2)=
	\frac{\Delta \Phi}{2\pi}\lambda_{vac}=
	\frac{\Delta \Phi}{k_{vac}}$.
\subsection{Intensität}
	In der Optik werden Intensitäten $I$, die durch das Amplitudenquadrat
	($\xi_1^2=I_1$) gegeben sind, wahrgenommen.
	Überlagern sich zwei Wellen
	$ \xi_1(z,t)$ und $\xi_2(z,t)$
	mit dem Phasenunterschied $\Delta \Phi$, so beträgt die resultierende
	Intensität (s.~Anhang)
	\begin{eqnarray}
	I=I_1+I_2+2\sqrt{I_1\,I_2}\cdot \cos\,\Delta \Phi\quad.
	\label{if03}
	\end{eqnarray}
	\begin{minipage}{7cm}
	Die resultierende Intensität
	ist gegeben durch die die Summe der Einzelintensitäten und den
	wesentlichen Interferenzterm ($2\sqrt{I_1\,I_2}\cdot \cos\,\Delta \Phi$).
	Somit erfolgt Verstärkung (konstruktive Interferenz)
	für $\cos \Delta \Phi= +1$  oder
	$\Delta \Phi=2\,n\,\pi$ (n~=~0, 1, 2, 3.) und maximale Abschwächung
	(destruktive Interferenz, Auslöschung bei $\hat \xi_1=\hat \xi_2$)
	für $\cos \Delta \Phi= -1$ oder $\Delta \Phi= (2\,n+1)\,\pi$ (Abb.~1). \\[.2cm]
	\end{minipage}
	\hspace{.5cm}
	\begin{minipage}{8cm}
	\includegraphics[scale=0.5]{abb1}
	{\small {\bf Abb.~1}:
	\parbox[t]{6cm}{
	Beispiel für destruktive
	Interferenz bei unterschiedlichen Amplituden: $I=I_1+I_2-2\sqrt{I_1I_2}$}}
	\end{minipage}
\subsection[Kohärenz]{Kohärenzlänge und Köhärenzbedingung}
	{\bf Kohärenzlänge:} Bei den bisherigen Überlegungen lagen
	ideale,~d.~h.~ monochromatische sowie zeitlich und räumlich unbegrenzte
	Wellen zugrunde.\\[.2cm]
	\begin{minipage}{9cm}
	Jedoch hat eine Welle, auch jede emittierte Spektrallinie,
	aufgrund ihrer endlichen Bandbreite $\Delta f$ (bzw. spektralen
	Breite $\Delta \lambda$) eine
	endliche Länge des Wellenzuges, die {\bf Kohärenzlänge $L_k$}, bei
	entsprechend begrenzter {\bf Kohärenz-Zeit}
	$\Delta t=L_k/c_0$. Infolge der Unschärfe-Relation
	\footnote{$
	\Delta p\cdot \Delta z\approx \hbar/2;\;
	\Delta E\cdot \Delta t=
	h\cdot \Delta f\cdot \Delta t
	\approx \hbar/2=h/4\,\pi;\;
	\Delta f\cdot \Delta t \approx 1/4\,\pi$; ~Grundgesetz der Nachrichtentechnik}
	gilt (\ref{if04}).
	Danach läßt sich für die in Abb.~2 gegebene
	Spektral-Linie ($\Delta \lambda \approx$ $10^{-3}$ nm) eine Kohärenzlänge von
	$L_k\approx 3,2$~cm abschätzen (Wie groß ist die Kohärenzlänge
	von Glühlampen-Licht: $\lambda \approx 0,5 \mu$m;
	$\Delta\,\lambda \approx 0,3\mu$m~?)
	\end{minipage}
	\hspace{.5cm}
	\begin{minipage}{6cm}
	\includegraphics[scale=0.5]{abb2}
	{\small {\bf Abb.~2}: \parbox[t]{4cm}{Spektrale Breite der
	roten Cd-Linie \cite{hecht}} }
	\end{minipage}
	~\\[.2cm]
	\begin{equation}
	\Delta f \Delta t\approx \frac{1}{4 \pi} \quad(a)\;;{\rm daher}\quad
	\Delta f \frac{L_k}{c_0}\approx  \frac{1}{4 \pi} \quad(b)\;;\quad
	{\rm und}\quad
	L_k\approx \frac{1}{4 \pi}\,\frac{\lambda_0^2}{|\Delta \lambda|}\quad(c)\;.
	\label{if04}
	\end{equation}
	Die begrenzte Kohärenzlänge bestimmt die maximal möglichen Gangunterschiede
	in Interferenzapparaten. \\[.1cm]
	In vielen Geräten wird die Kohärenz der zur Überlagerung kommenden
	Teilwellen durch Aufspaltung des Primärstrahls mit Hilfe von
	halbdurchlässigen Spiegeln u.a. erzeugt.
	Dies gelingt jedoch bei ausgedehnten Lichtquellen (seitliche
	Ausdehnung $A$) nur dann,
	wenn die {\bf Kohärenzbedingung}
	erfüllt ist ($u$~=~Öfnnungswinkel des Strahls):
	\begin{equation}
	2\,A\,\sin\,u \ll \frac{\lambda}{2}\quad.
	\label{if05}
	\end{equation}
	\begin{minipage}{6cm}
	{\bf Kohärentes LASER-Licht:}\\
	LASER-Licht ist besonders ko-härent mit Kohärenzlängen in der Größenordnung
	von 1~m.
	Es entsteht durch stimulierte Emission. Die vorher
	angeregten Atome strahlen die durch den Spiegelabstand ausgewählte
	Frequenz {\bf phasengleich} ab.
	Die Anregung der Elektronen der Neon-Atome in den
	maßgeblichen 3~s-(2~s) Zustand erfolgt
	über Elektronenstöße mit den Helium-Atomen in der Gasentladung und durch
	Energieübertragung (Stöße 2.~Art).
	Im He-Ne-LASER wird bei schmaler Bündelung die
	Wellenlänge $\lambda=632,8$~nm ($\lambda_2$ in Abb.~3)
	erzeugt.
	\end{minipage}
	\hspace{.5cm}
	\begin{minipage}{9cm}
	\includegraphics[scale=0.5]{abb3}
	{\small {\bf Abb.~3}:
	\parbox[t]{7cm}{
	Aufbau (a) und
	Termschema (b) eines He-Ne-Lasers}}
	\end{minipage}
\section{Experimente mit dem Michelson-Interferometer}
{\bf Beim Experimentieren mit dem LASER nie direkt oder
indirket (nach Reflexionen) in den Strahl sehen.}
\subsection{Aufbau, Messprinzipien und Justierung}
	Das verwendete Interferometer ist in Abb.~4 skizziert.
	Im Gegensatz zum Orginal-Michelson-Experiment
	wird als Lichtquelle ein LASER und als Strahlteiler ein Würfel verwendet.
	Der Würfel besteht aus zwei
	Prismen, deren Berührungsflächen halbdurchlässig verspiegelt sind.\\
	Der LASER-Strahl muß etwas aufgeweitet werden.
	Jeder Teilstrahl wird an justierbaren
	End-Spiegeln (S$_1$; S$_2$) reflektiert und nach Rücklauf
	durch den Teiler-Würfel zur Überlagerung gebracht.\\
	Zur groben  Justierung
	des Michelson-Interferometers
	werden weiße Schirme in die Strahlengänge gehalten.
	Die Feinjustierung erfolgt durch geringe Verkippung des zweiten Spiegels
	nach Abb.~4~b solange, bis man
	die konzentrischen Ringe bzw.~Streifen mit dem Abstand $s$ sieht.
	Der Schirm wird nun durch die CCD-Kamera ersetzt und die weitere
	Beobachtung erfolgt auf einem Bildschirm.\\
	Nach der ersten Strahlaufweitung kann zusätzlich eine
	Konvexlinse mit geeigneter Brennweite
	angebracht werden und man erhält als Folge der Interferenz von
	von Kugelwellen
	konzentrische Ringe, die bei Phasenänderungen von innen herauslaufen.\\[.1cm]
	Die hellen bzw.~dunklen Streifen bzw.~Ringe in der x-y-Ebene haben den
	Abstand $s$. Im Interferenzterm muß neben $z$ auch $x$
	berücksichtigt werden (Abb.~4~c; s.~Anhang).\\
	Es gibt mehrere Möglichkeiten, die Interferenzstreifen und deren
	Veränderung zu beobachten:\\[.1cm]
	1. Einer der beiden Spiegel wird nach Abb.~4~b um einen bestimmten
	Winkel verkippt. Wie groß muß dieser Winkel sein, damit die
	Wellenzahlvektoren $\vec k_1$ und $\vec k_2$ beim Interferieren
	um den Winkel $\beta $ geneigt sind?\\
	\begin{minipage}{6cm}
	Die Abstände $s$ der beobachte-ten
	Streifen in x-Richtung (Quer-Richtung) sind nach Abb.~4~c um so
	breiter, je geringer $\beta $ ist:
	\begin{equation}
	s=\frac{\lambda_{vac}}{\beta}\quad.
	\label{mich011}
	\end{equation}
	Entsprechend der Gl.~(\ref{mich011}~) steigt die Empfindlichkeit
	eines Längenmessgerätes mit $\frac{1}{\beta}$ an.\\[.2cm]
	2. Bei konstantem, möglichst geringem Winkel wird eine der Entfernungen ($L_1$; $L_2$)
	um $\Delta L$ geändert (Abb.~4~a):\\
	Der entsprechende Gangunterschied ist bei konstanter Brechzahl
	durch $\Delta =2\,\Delta L$ gegeben und man beobachtet $m$
	durchlaufende Streifen:
	\begin{equation}
	m=\frac{2\,\Delta L}{\lambda}\quad.
		\label{if012}
	\end{equation}
	3. Bei konstantem $\beta $ und konstanten  $L_1$; $L_2$ bringt man
	vor den einen Spiegel eine evakuierbare Küvette der Länge $d$ an. Auf dieser
	Länge $d$ kann das Medium und damit die Brechzahl um $\Delta n$ geändert
	werden. Im Versuch werden Vakuum und Luft von Normaldruck verglichen.
	Die Anzahl $m$ der durchlaufenden Streifen ist proportional zum
	Gangunterschied $2\,d\Delta n$:
	\begin{equation}
	\lambda m=2\,d\,\Delta n\quad.
		\label{if013}
	\end{equation}
	\end{minipage}
	\hspace{.5cm}
	\begin{minipage}{9.5cm}
	\includegraphics[scale=0.5]{abb4}
	{\small {\bf Abb.~4:} Michelson-Interferometer \\
	\parbox[t]{7.5cm}{
	a. Strahlengang, Variation der Spiegelentfernung um $\Delta L$;
	b. Streifenabstand  $s$ als Folge der Spiegelverkippung
	(s.~\ref{mich011});
	c. Zur Überlagerung zweier um $\beta $ zueinander geneigter ebener
	Wellenfronten mit den Wellenvektoren $\vec k_1$ und $\vec k_2$
	mit Streifenabstand $s$ in der Schirmebene (x-y)}}
	\end{minipage}

\subsection[Anwendungen]{Anwendungen des Michelson-Interferometers}
\subsubsection{Thermischer Ausdehnungskoeffizient}
	Einer der Spiegel wird am Ende eines Metallstabes befestigt, dessen anderes
	Ende mit der Grundplatte verbunden ist.\\
	Die Temperatur des Metallstabes wird langsam geändert.
	Man zählt entsprechend (\ref{if012}) $m$ Streifen und erhält
	bei gebener Temperaturänderung $\Delta T$
	die Längenänderung $\Delta l$ sowie den linearen
	Ausdehnungskoeffizienten $\alpha$
	\begin{eqnarray}
	\Delta l=l-l_0 &=& l_0\,\alpha\,\Delta T
	= m\,\frac{\lambda}{2} \nonumber \\
	\alpha & = & \frac{m\,\lambda}{2\,l_0\,\Delta T}\;.
	\label{mich01}
	\end{eqnarray}
	Vorzuziehen ist nach Aufheizen auf ca.~65~$^0$C
	die Messung während de Abkühlens. Aus der grafischen Darstellung $m(T)$
	kann der Ausdehnungskoeffizient $\alpha$ bestimmt werden.

\subsubsection{Hysterese eines Piezo-Aktors}
	Wird ein geignetes piezoelektrisches Material, z.~B. Quarz oder
	Bariumtitanat (BaTiO$_3$) einer mechanischen Zug-~oder
	Druckspannung ausgesetzt, so entsteht an den
	Endflächen eine elektrische Spannung.
	Bringt man umgekehrt den Kristall in ein
	elektrisches Feld, so ändert er seine Länge, was
	dynamisch z.~B.~beim Schwingquarz und statisch z.~B.~beim {\bf Piezo-Aktor}
	angewendet wird.
	Piezo-Aktoren werden auch zur elektrisch gesteuerten
	Positionierung der Spitze im Rastertunnelmikroskop oder zur Justierung von
	Interferometerspiegeln benutzt. Dabei können die
	kleinsten Schritte im nm-Bereich liegen.
	Aktoren müssen mit Gleichfeldstärken
	im Bereich von kV/mm  vorpolarisiert werden,
	da der Piezo-Effekt infolge Depolarisierung durch Temperatur- und
	Feldeinwirkung reduziert wird.\\
	Allgemein zeigen Aktoren {\bf Hysterese}, d.~h.~einen nichtlinearen und nicht
	eindeutigen Zusammenhang zwischen Längenänderung $\Delta l$ und
	elektrischer Spannung $U$, der stark von der Vorgeschichte abhängt.\\
	Zur Aufnahme der Längen-Hysterese des Piezo-Aktors
	wird die angelegte Spannung zwischen +~100 V bis -~10 V  variiert.

\subsubsection{Bestimmung der Brechzahl von Luft}
	In einen Strahl des Interferometers nach Michelson
	wird eine evakuierbare Küvette der Länge $d$ eingebracht.\\
	Diese kann evakuiert und schrittweise wieder mit Luft gefüllt werden.
	Bei beiden Vorgängen werden nach (\ref{if013}) $m $  Streifen gezählt, die
	der Brechzahldifferenz proportional sind:
	\begin{equation}
	\Delta=m\,\lambda =2\,d\,\Delta n\quad=2\,d\,(n-1)\quad
	{\rm d.~h.~}\quad
	n=1+\frac{m\lambda}{2d}\quad.
	\label{if013}
	\end{equation}
	{\bf Korrektur der Brechzahl:}\\[.1cm]
	Die Messung wird bei der Temperatur $T$ und dem Druck $p$
	durchgeführt:
	$n(p,T)=1+\frac{m\lambda}{2d}$. Die Korrektur auf
	Normalbedingungen ($p_0=1013$~mb; $T_0=273$~K)
	erfolgt anhand der Zustandsgleichung idealer Gase (s.~Anhang):
	\begin{equation}
	n(0)=
	1+\frac{m\,\lambda}{2\,L} \cdot\frac{p_0}{p}\frac{T}{T_0}
	\label{if15}
	\end{equation}
\section{Anhang}
\subsection{Weitere Interferenzapparate}
	Der Vollständigkeit halber sollen einige weitere
	Interferenzapparate erwähnt werden.
\subsection{Interferenzen am Keil}
	\begin{minipage}{4cm}
		Auf der ebenen Glasplatte des Tisches eines Meßmikroskops erzeugt man mit
	Hilfe eines geraden Drahtes und einer planparallelen Glasplatte einen
	Luft-(oder Flüssig-\\
	keits-)~Keil (Abb.~5).
	\end{minipage}
	\hspace{.5cm}
	\begin{minipage}{11cm}
	\includegraphics[scale=0.5]{abb5}\\
	{\small {\bf Abb.~5:}
	\parbox[t]{9cm}{
	Beobachtung von Interferenzen am Keil}}
	\end{minipage}
	~\\[.2cm]
	Monochromatisches Licht wird
	über eine Glasplatte G (s.~Abb.~6) eingespiegelt.
	Man beobachtet abwechselnd helle und
	dunkle Streifen ({\bf Interferenzen gleicher Dicke}), deren Anzahl ($N$) pro
	Längeneinheit $x$
	durch Auszählen im Meßmikroskop ($x$~=~Koordinate
	senkrecht zu den Streifen) gemessen und grafisch ausgewertet
	wird.
	Dem Kehrwert des Abstands zweier benachbarter Streifen ($x_i-x_{i-1}$)
	entspricht der Anstieg
	$\frac{\Delta N}{\Delta x}=\frac{1}{x_i-x_{i-1}}$.
	Da der Phasensprung $\pi$ an der unteren Glasplatte für alle Teilwellen
	gleich ist und bei der Differenzbildung herausfällt, ist der
	Phasenunterschied der jeweils zur Interferenz kommenden
	Teilwellen von einem dunklen Streifen (Strahlen-Paar 1) zum nächsten
	(2,~s.~Abb.~5) gegeben durch den Gangunterschied:\\
	$\Delta=2\,y=2\,tan\,\alpha\, (x_i-x_{i-1})=\lambda$ oder
	\begin{equation}
	\frac{\Delta m}{\Delta x}=\frac{1}{x_i-x_{i-1}}=
	\frac{2\,tan\,\alpha}{\lambda}\quad(a);\quad{\rm d.~h.}
	\quad
	\lambda=\frac{2\,\tan\,\alpha}{\frac{\Delta m}{\Delta x}}  \quad(b);\quad
	{\rm bzw.}\quad
	\lambda=\frac{2\,n\,\tan\,\alpha}{\frac{\Delta m}{\Delta x}} \quad(c)\;.
	\label{if06}
	\end{equation}
\subsubsection{Newtonsche Ringe}
	\begin{minipage}{9cm}
	Die Anordung (Abb.~6) entspricht
	der Abb.~5, wobei die obere Glasplatte durch eine
	plankonveze Linse ersetzt wird.
	Die Interferenzen gleicher Dicke sind jetzt konzentrische Kreise, deren
	Durchmesser $D_i$ quadratisch mit den
	Gangunterschieden $\Delta_i =2\,(d_i+d_0)\approx 2\,d_i$
	verknüpft sind und die in Abhängigkeit von der Anzahl $N$ gemessen werden.
	(Erwarten Sie den zentralen Punkt hell oder dunkel?)
	Mit $R$ als Linsenradius (typisch $R\approx 10$~m) und $d\approx D^2/8R$;
	($d\ll D$) hängt für $d_0\approx 0$
	die Differenz der Quadrate
	zweier benachbarter Durchmesser
	\end{minipage}
	\hspace{.5cm}
	\begin{minipage}{6cm}
	\includegraphics[scale=0.5]{abb6}
	{\small {\bf Abb.~6:}
	\parbox[t]{4cm}{
	Zur Beobachtung von
	Newtonschen Ringen}}
	\end{minipage}
	~\\[.2cm]
	mit der Differenz der
	zugehörigen Gangunterschiede $(d_i-d_{i-1})=\lambda/2$ wie folgt zusammen:
	\begin{equation}
	(d_i-d_{i-1})
	=\frac{1}{8R}(D_i^2-D_{i-1}^2) \quad(a);\quad
	{\rm woraus}\quad
	\lambda=\frac{1}{4R}\,(D_i^2-D_{i-1}^2)=
	\frac{1}{4R}\,\frac{\Delta (D^2)}{\Delta m}\quad (b)
	\label{if07}
	\end{equation}
	folgt. Mittels Gl.~(\ref{if07}~b) kann eine unbekannte Größe ($\lambda$
	oder $R$) bestimmt werden.
\subsubsection{Interferometer nach Jamin}
	\begin{minipage}{6cm}
	Hier findet eine zweimalige Aufspaltung des
	Primärstrahls je an der Vorder- und Hinter-Seite
	zweier planparalleler Platten statt.
	Von den 4 entstehenden Teil-Strahlen werden
	die beiden äußeren ausgeblendet.
	An jeder der (nahezu) gleichen Platten wird der
	Gangunterschied $\Delta $ zwischen dem
	gebrochenen und an der Rückseite reflektierten
	(2~x) und dem direkt reflektierten Strahl (y) betrachtet.
	\end{minipage}
	\hspace{.5cm}
	\begin{minipage}{9cm}
	\includegraphics[scale=0.5]{abb7}
	{\small {\bf Abb.~7:}
	\parbox[t]{7cm}{
	Jamin'sches Interferometer}
	}
	\end{minipage}
	~\\[.2cm]
	Der Gangunterschied an der ersten Platte beträgt
	\begin{equation}
	\Delta_1=2x-y=\frac{2\, d_1\, n}{\cos \beta}-
	2\,  d_1\,  \frac{\sin \beta\,  \sin \alpha_1}{\cos \beta}  \label{if08}
	\end{equation}
	\begin{equation}
	{\rm Mit}\quad \sin \alpha_1 = \frac{y}{2\,  d_1\,  tan\beta}\quad;
	\quad a=d_1\,  \tan\,  \beta
	\quad;\quad \sin \beta=\frac{\sin \alpha_1}{n} \quad{\rm wird}  \label{if09}
	\end{equation}
	\begin{equation}
	\Delta_1 = 2 d_1\left[\frac{n}{\sqrt{(1-\frac{\sin^2 \alpha_1}{n^2})}}-
	\frac{\frac{\sin \alpha_1}{n}\sin \alpha_1}
	{\sqrt{1-\frac{\sin^2 \alpha_1}{n^2}}}\right]
	=2 d_1 \sqrt{n^2- \sin^2\alpha_1}                          \label{if10}
	\end{equation}
	Der gleiche Gangunterschied tritt an der zweiten planparallelen Platte auf,
	so daß bei völliger Gleichheit und Parallelität beider Platten der gesamte
	Gangunterschied $\Delta_1-\Delta_2$ verschwindet.
	Sind die Dicken und Neigungswinkel beider Platten etwas verschieden,
	so folgt aus Gl.(\ref{if10}) ein resultierender Gangunterschied
	\begin{equation}
	\Delta_1-\Delta_2 =
	2 d_1 \sqrt{n^2- \sin^2\alpha_1}-
	2 d_2 \sqrt{n^2- \sin^2\alpha_2}  \quad.
	\label{if11}
	\end{equation}
	Durch Verkippen (Anderung von $\alpha_1$) einer Platte können die
	Abstände der beobachteten Streifen varriiert werden.
	Wird in einen der beiden Strahlengänge ein anderes Medium (Brechzahl $n_1$;
	Länge der Küvette $L$)
	eingebracht, so entsteht ein zusätzlicher Gangunterschied $\Delta$
	infolge der optischen Wegänderung $L(n_0-n_1)$ (vergl. mit (\ref{if012}):
	\begin{equation}
	L(n_0-n_1)=\Delta=m\,\lambda\quad.
		\label{if12}
	\end{equation}
\subsubsection{Zum Interferenzterm der Intensität}
	Zur Berechnung der Intensität der Elongation  $\xi_{res}=\xi_1+\xi_2$
	muß $\xi_{res}$ komplex quadriert werden.
	(Beachtung der Eulerschen Gleichung:
	$cos\,\psi=\frac{1}{2}\,(e^{j\psi}+e^{-j\psi})$
	~ und ferner des Spezialfalls gleicher
	Amplituden, $\hat \xi_1=\hat \xi_2$).\\[.1cm]
	Die Phasendifferenz berechnet sich zweidimensional zu:
	$\Delta \Phi=\Delta(\vec k\vec r)=\Delta (k_x x+k_z z)$.
	\begin{eqnarray}
	I_{res}&=&
	\left[\hat \xi_1\,e^{j(\omega t+k_x x-k_z z)}+
	\hat \xi_2\,e^{j(\omega t-k_x x-k_z z+\Delta \Phi)}\right]\cdot
	\left[\hat \xi_1\,e^{-j(\omega t+k_x x-k_z z)}+
	\hat \xi_2\,e^{-j(\omega t-k_x x-k_z z+\Delta \Phi)}\right]   \nonumber \\
	&=&e^{j(\omega t-k_x x-k_z z)}\left[\hat \xi_1+\hat \xi_2e^{j\Delta \Phi}\right]\cdot
	e^{-j(\omega t-k_x x-k_z z)}\left[\hat \xi_1+\hat \xi_2e^{-j\Delta \Phi}\right]
		\nonumber \\
	&=&\hat \xi_1^2+\hat \xi_2^2+\hat \xi_1^2\,
	\hat \xi_2^2\cdot (e^{j\Delta \Phi}+e^{-j\Delta \Phi}) \hspace{4cm}  \nonumber \\
	&=&\hat \xi_1^2+\hat \xi_2^2+2\,\hat \xi_1\,
	\hat \xi_2\cdot cos\,\Delta \Phi=I_1+I_2+2\sqrt{I_1\,I_2}
	\cdot cos\,\Delta \Phi\quad.
	\label{if03}
	\end{eqnarray}
	Der maßgebliche Phasenwinkel $\Delta \Phi$ und damit
	der Interferenzterm $cos\,\Delta \Phi$
	soll für zwei Spezialfälle diskutiert werden
	\begin{equation}
	\Delta \Phi=[(k_{z,1} z_1-k_{z,2} z_2)+k_x \Delta x
	=[2\,k_z\,\Delta L +\beta k_x x]\quad.
	\label{if1222}
	\end{equation}
	Die Phasendifferenz nach (\ref{if1222}) soll für die zwei
	Spezialfälle diskutiert werden:\\
	a. Bei konstantem $\beta$ existieren nur Variationen
	in $z$-Richtung: $\Delta \Phi =2 k_z \Delta z= 2\,k_z\Delta L$
	(Längenmessung).\\
	b. Zum anderen ist bei einer reinen Verkippung eines Spiegels die
	Phase nur mit $\beta$ veränderlich ($\Delta z =0$).
	\subsubsection{Zur Dichteabhängigkeit der Brechzahl}
	Die Maxwellsche Relation lautet $\epsilon = n^2$ (für hinreichend
	hohe Frequenzen und starke Verdünnung, keine Wechselwirkung).
	Mit ($n=1+ \Delta n$; $n-1\ll 1$), z.B. in Luft gilt
	\begin{equation}
	\chi_{el}=\epsilon -1=n^2-1\quad(a)\;; \quad (1+ \Delta n)^2-1 \approx
	2\,(n-1)=2\,\Delta n\quad.
	\label{if13}
	\end{equation}
	(Vernachlässigung von $(\Delta n)^2$ gegen $2\Delta n$).\\
	Der Dichtezuwachs $\Delta n$ beim Übergang von Vakuum in Luft ist wie
	$\chi_{el}$ ~ $\sim N$ (Teilchenzahl), d.~h. $\sim p$ oder
	$\sim \rho$. Die Korrektur folgt aus der Zustandsgleichung
	: $\frac{\rho_0}{\rho(p,T)}=\frac{N_0}{N(p,T)}=\frac{T\,p_0}{T_0\,p}$.

\section{Fragen}
\begin{enumerate}
	\item
	Wie beschreibt man mathematisch eine ebene harmonische Welle?
	Wodurch wird die Phase bestimmt?
	\item
	Nennen Sie Ursachen für Phasenunterschiede;
	wie kann man den Gangunterschied beeinflussen (Interferenzapparate)?
	\item
	Unter welcher Voraussetzung können zwei Wellen interferieren? Was versteht
	man unter Kohärenzbedingung?
	\item
	Was versteht man unter konstruktiver und destruktiver Interferenz?
	\item
	Warum ist LASER-Licht besonders gut kohärent?
	\item
	Skizzieren Sie den Strahlenverlauf in einem Michelson-Interferometer.
	\item
	Wie wurde das historisch berühmte Michelson-Experiment zum Beweis der
	Konstanz der Lichtgeschwindigkeit im Vakuum durchgeführt?
	\item
	Wie lauten die Differentialgleichungen für eine Seilwelle, eine ebene
	elastische und eine
	ebene elektromagnetische Welle? Wovon hängen die jeweiligen
	Phasengeschwindigkeiten ab?
	\item
	Wie berechnet man den Gangunterschied bei
	beim Michelson-Interferometer und anderen Interfrenzapparaten?
	\item
	Worauf beruht das Tolanski-Verfahren zur Dickenbestimmung?
	\item
	Wie funktioniert ein Interferenzfilter? Wie und wozu stellt man eine
	vergütete Optik her?
\end{enumerate}

\bibliographystyle{unsrt}

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C.-Hanser München 1995  \\[-.6cm]
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 A.~Schneider, H.~Schulze, Physikalisches Praktikum für Anfänger,\\
  Leipzig 1994
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\bibitem{walcher} W.~Walcher, Praktikum der
Physik, V.~Teubner, Stuttgart 1989
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\end{document}
