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"problem": "例7. 设 $S$ 为非空数集, 且满足: (i) $2 \\notin S$; (ii) 若 $a \\in S$, 则 $\\frac{1}{2-a} \\in S$. 证明:\n(1) 对一切 $n \\in \\mathbf{N}^*, n \\geqslant 3$, 有 $\\frac{n}{n-1} \\notin S$;\n(2) $S$ 或者是单元素集,或者是无限集.", |
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"solution": "分析: 对于 (1), 因为 $n \\in \\mathbf{N}^*$, 可以考虑采用数学归纳法.\n证明: (1) 因为 $S$ 非空, 所以存在 $a \\in S$, 且 $a \\neq 2$.\n我们用数学归纳法证明下面的命题:\n若 $a \\in S$, 则对 $k \\in \\mathbf{N}^*, \\frac{(k-1)-(k-2) a}{k-(k-1) a} \\in S$, 且 $a \\neq \\frac{k+1}{k}$.\n当 $k=1$ 时, 显然 $a \\in S$, 且 $a \\neq 2$ 成立.\n设 $k \\in \\mathbf{N}^*, \\frac{(k-1)-(k-2) a}{k-(k-1) a} \\in S$ 且 $a \\neq \\frac{k+1}{k}$ 成立.\n由 (ii) 得\n$$\n\\begin{gathered}\n\\frac{1}{2-\\frac{(k-1)-(k-2) a}{k-(k-1) a}} \\in S, \\\\\n\\frac{k-(k-1) a}{(k+1)-k a} \\in S .\n\\end{gathered}\n$$\n化简得\n$$\n\\frac{k-(k-1) a}{(k+1)-k a} \\in S \\text {. }\n$$\n又 $\\frac{k-(k-1) a}{(k+1)-k a} \\neq 2$, 所以 $a \\neq \\frac{k+2}{k+1}$.\n综上, 由归纳原理知, 对 $k \\in \\mathbf{N}^*$ 命题成立.\n从而, 对一切 $n \\in \\mathbf{N}^*, n \\geqslant 3$, $\\frac{n}{n-1} \\notin S$ 成立.\n(2) 由 (1) 知, 若 $a \\in S, a \\neq \\frac{m}{m-1}\\left(m \\in \\mathbf{N}^*, m \\geqslant 3\\right)$, 则 $\\frac{(m-1)-(m-2) a}{m-(m-1) a} \\in S$.\n所以, 当 $n \\geqslant 2, m \\geqslant 2, m \\neq n$ 时,\n$$\n\\begin{aligned}\n& \\frac{(n-1)-(n-2) a}{n-(n-1) a}=\\frac{(m-1)-(m-2) a}{m-(m-1) a} \\\\\n& \\Leftrightarrow m(n-1)-(n-1)(m-1) a-m(n-2) a+(m-1)(n-2) a^2 \\\\\n& =n(m-1)-(n-1)(m-1) a-n(m-2) a+(n-1)(m-2) a^2 \\\\\n& \\Leftrightarrow n-m+2(m-n) a+(n-m) a^2=0 \\\\\n& \\Leftrightarrow(n-m)\\left(1-2 a+a^2\\right)=0 \\\\\n& \\Leftrightarrow a=1 (\\text { 因为 } n \\neq m) .\n\\end{aligned}\n$$\n因为 $\\mathbf{N}^*$ 是无限集, 所以 $S$ 或者为单元素集 $\\{1\\}$ (当且仅当 $a=1$ ), 或者为无限集.", |
