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"problem": "例8. 用 $\\sigma(S)$ 表示非空的整数集合 $S$ 的所有元素的和.\n设 $A=\\left\\{a_1\\right.$, $\\left.a_2, \\cdots, a_{11}\\right\\}$ 是正整数的集合, 且 $a_1<a_2<\\cdots<a_{11}$; 又设对每个正整数 $n \\leqslant$ 1500 , 都存在 $A$ 的子集 $S$, 使得 $\\sigma(S)=n$. 求 $a_{10}$ 的最小可能值.", |
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"solution": "分析: 要求 $a_{10}$ 的最小值, 显然应使 $\\sigma(A)=1500$. 又由题设, 应使 $a_{11}$ 尽可能大, 且前 10 个数之和不小于 750 , 故取 $a_{11}=750$. 考虑整数的二进制表示, 由 $1+2+\\cdots+2^7=255$ 知, 前 8 个数应依次为 $1,2,4,8,16,32,64,128$. 这时 $a_9+a_{10}=495$, 从而有 $a_{10}=248$.\n解: 取 $A_0=\\{1,2,4,8,16,32,64,128,247,248,750\\}$, 易知 $A_0$ 满足题目要求,且 $a_{10}=248$. 故 $a_{10}$ 的最小可能值不超过 248 .\n另一方面, $a_{10}$ 不可能比 248 更小.\n这是因为前 10 个数之和不能小于 750 , 否则设 $\\sum_{i=1}^{10} a_i=m, m<750$, 则 $a_{11}=1500-m$, 对 $n \\in(m, 1500-m)$, 显然不存在 $A$ 的子集 $S$, 使 $\\sigma(S)=n$. 因 $1+2+\\cdots+2^?=255$, 由整数的二进制表示知, 其前 8 个数之和最大为 255 . 故 $a_9+a_{10}$ 的最小可能值为 495 , 从而 $a_{10}$ 至少为 248 .\n综上知, $a_{10}$ 的最小可能值为 248 .\n说明: 本例采用了构造法.\n直接构造一个符合题设的 $A_0$, 然后证明 $A_0$ 具有所要求的性质.\n这种方法在解有关集合和组合的问题中经常用到.", |
