proof/0006.json

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    "source_file": "./raw_volume-zh/volume1/chapter1.tex",
    "problem_type": "proof",
    "problem": "例9. 设 $S$ 是由 $2 n$ 个人组成的集合.\n求证: 其中必定有两个人,他们的公共朋友的个数为偶数.",
    "solution": "证明: 用反证法: 设 $S$ 为一个由 $2 n$ 个人组成的集合, $S$ 中每两个人的公共朋友数为奇数.\n对 $S$ 中的任意一个人 $A$, 记 $M=\\left\\{F_1, \\cdots, F_k\\right\\}$ 为 $A$ 的朋友集, 可以证明： 对每个 $A, k$ 都为偶数.\n事实上, 对每个 $F_i \\in M$, 考虑他在 $M$ 中的朋友数, 所有这 $k$ 个 $F_i$ 的这些朋友数之和为偶数 (因为朋友是相互的), 而对 $A 、 F_i$ 而言, 其公共朋友数为奇数, 故每个 $F_i$ 的这样的朋友数为奇数, 故 $k$ 为偶数.\n设 $k=2 m$, 现在考虑每个 $F_i \\in M$, 他的所有朋友集不包括 $A$, 但不局限于 $M$ 中, 他的这样的朋友数为奇数 (因为 $F_i$ 的朋友数为偶数, 而 $A$ 不算在内). 因此,所有 $2 m$ 个这样的朋友集的元素个数之和为偶数.\n从而在 $2 n-1$ 个人 ( $A$ 除外) 中, 必有一个人在偶数个这样的朋友集中出现, 他与 $A$ 的公共朋友数为偶数.\n这个矛盾表明: 有两个 $S$ 中的人,他们的公共朋友数为偶数.\n说明: 上述解法采用了奇偶性分析来“制造”矛盾.",
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