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"problem": "例7. 设自然数集分划成 $r$ 个互不相交的子集: $\\mathbf{N}=A_1 \\cup A_2 \\cup \\cdots \\cup A_r$. 求证其中必有某个子集 $A$, 它具有如下性质 $P$ : 存在 $m \\in \\mathbf{N}$, 使对任何正整数 $k$, 都能找到 $a_1, a_2, \\cdots, a_k \\in A$, 满足\n$$\n1 \\leqslant a_{j+1}-a_j \\leqslant m, j=1,2, \\cdots, k-1 .\n$$", |
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"solution": "分析:显然具有性质 $P$ 的子集 $A$, 不可能是 $\\mathbf{N}$ 的 $r$-分划中的有限集.\n不妨设 $\\mathbf{N}$ 的 $r$-分划中的无限集为 $A_1, A_2, \\cdots, A_{r^{\\prime}}$, 令 $B=A_2 \\cup A_3 \\cup \\cdots \\cup A_{r^{\\prime}}$. 设 $b$ 是集合 $A_{r^{\\prime}+1} \\cup \\cdots \\cup A_{r-1} \\cup A_r$ 中的最大自然数, 则 $b$ 以后的自然数都在 $N^{\\prime}= A_1 \\cup B$ 中, 即 $N^{\\prime}$ 中存在任意有限长度的相继自然数段.\n只需证明: 若 $A_1$ 不具有性质 $P$, 则 $B$ 必具有性质 $P$.\n证明先证下面的引理:\n引理设 $\\mathbf{N}=A_1 \\cup A_2 \\cup \\cdots \\cup A_r$, 且 $A_1, A_2, \\cdots, A_r$ 两两不相交.\n若 $A_i \\cup A_{i+1} \\cup \\cdots \\cup A_r$ 包含任意有限长度的相继自然数段.\n而 $A_i$ 不具有性质 $P$, 则 $A_{i+1} \\cup \\cdots \\cup A_r$ 中必定含有任意有限长度的相继自然数段.\n引理的证明若 $A_i$ 不具有性质 $P$, 则对于任给的 $m \\in \\mathbf{N}$, 存在 $k(m) \\in \\mathbf{N}$, 使得对于 $A_i$ 的任何 $k(m)$ 个数 $a_1<a_2<\\cdots<a_{k(m)}$, 都可找到下标 $j \\in\\{1,2, \\cdots, k(m)-1\\}$, 数 $a_j$ 与 $a_{j+1}$ 之间至少有 $m$ 个相继自然数都不属于 $A_i$.\n在 $A_i \\cup A_{i+1} \\cup \\cdots \\cup A_r$ 中选取一个长度为 $L=k(m) m$ 的相继自然数段.\n若该段数中有 $k(m)$ 个数属于 $A_i$, 则因 $A_i$ 不具有性质 $P$, 故在这 $k(m)$ 个数中, 存在两个数 $a_j$ 与 $a_{j+1}$, 它们之间有 $m$ 个相继自然数都不属于 $A_i$, 当然就都属于 $A_{i+1} \\cup \\cdots \\cup A_r$. 若选出的长度为 $L$ 的相继自然数段中属于 $A_i$ 的数少于 $k(m)$ 个, 则当把这 $L$ 个相继自然数依次分成 $k(m)$ 段, 每段恰有 $m$ 个数时, 由抽庶原理知其中必有一段 $m$ 个数中不含 $A_i$ 中的数, 当然都属于 $A_{i+1} \\cup \\cdots \\cup A_r$. 由 $m \\in \\mathbf{N}$ 的任意性知引理成立.\n回到原题的证明.\n若 $A_1$ 具有性质 $P$, 则结论成立; 若 $A_1$ 不具有性质 $P$, 则由引理知 $A_2 \\cup A_3 \\cup \\cdots \\cup A_r$ 满足引理的条件.\n若 $A_2$ 具有性质 $P$, 则结论成立; 若 $A_2$ 不具有性质 $P$, 则 $A_3 \\cup \\cdots \\cup A_r$ 又满足引理的条件.\n这样继续下去, 或者在某一步得出 $A_{i_0}$ 具有性质 $P$, 或者进行到最后, 得到 $A_r$ 含有任意有限长度的自然数段, 当然具有性质 $P$.\n说明由上面的证明可以看出, 本例可作如下的加强：设 $M \\subset \\mathbf{N}, M$ 中存在任意有限长度的相继自然数段, 作 $M$ 的 $r$-分划: $A_1, A_2, \\cdots, A_r$, 则在这些子集中必存在某个子集 $A$ 具有性质 $P$. 可以对 $r$ 进行归纳证明.", |
