Update data/OlymMATH-ZH-HARD.jsonl

data/OlymMATH-ZH-HARD.jsonl

@@ -55,7 +55,7 @@
 {"problem": "在平面区域 $M = \\{(x, y) | 0 \\le y \\le 2 - x, 0 \\le x \\le 2 \\}$ 内任取 $k$ 个点, 均能将这 $k$ 个点分成 $A$、 $B$ 两组, 使得 $A$ 组所有点的横坐标之和不大于 $6$, 而 $B$ 组所有点的纵坐标之和不大于 $6$. 求正整数 $k$ 的最大值.", "answer": "11", "subject": "组合", "unique_id": "OlymMATH-HARD-54-ZH"}
 {"problem": "设方程 $4^{1-2x} + \\log_2 x = 0$ 的三个根为 $x_1, x_2, x_3$ ($x_1 < x_2 < x_3$). 求 $\\frac{\\log_2 x_2}{x_1 x_2 x_3}$ 的值.", "answer": "-32", "subject": "代数", "unique_id": "OlymMATH-HARD-55-ZH"}
 {"problem": "求最大的 $C \\in \\mathbf{R}_{+}$, 使得从任何实数列 $a_{1}, a_{2}, \\ldots, a_{2022}$ 中均可以选取一部分项, 同时满足以下条件: (1) 任何连续三项不同时被取出；(2) 任何连续三项至少有一项被取出；(3) 被取出的各项之和的绝对值不小于 $C(|a_{1}| + |a_{2}| + \\cdots + |a_{2022}|)$.", "answer": "\\frac{1}{6}", "subject": "组合", "unique_id": "OlymMATH-HARD-56-ZH"}
-{"problem": "已知对于任意的实数 $x$, 均有 $f(x) = 1 - a \\cos x - b \\sin x - A \\cos 2x - B \\sin 2x \\ge 0$. 求 $(A^2 + B^2)(a^2 + b^2)$ 的最大值.", "answer": "2", "subject": "代数", "unique_id": "OlymMATH-HARD-57-ZH"}
+{"problem": "已知对于任意的实数 $x$, 均有 $f(x) = 1 - a \\cos x - b \\sin x - A \\cos 2x - B \\sin 2x \\ge 0$. 求 $(A^2 + B^2)(a^2 + b^2)$ 的最大值.", "answer": "\\frac{27}{32}", "subject": "代数", "unique_id": "OlymMATH-HARD-57-ZH"}
 {"problem": "已知区间 $[0, 1]$ 内有若干个数（可以相同）, 其和不超过 $S$. 求 $S$ 的最大值, 使得总可以将这些数分成两组, 每组中的各数之和均不超过 $11$.", "answer": "\\frac{253}{12}", "subject": "组合", "unique_id": "OlymMATH-HARD-58-ZH"}
 {"problem": "设 $\\begin{cases} \\sin \\alpha = \\sin(\\alpha + \\beta + \\gamma) + 1, \\\\ \\sin \\beta = 3\\sin(\\alpha + \\beta + \\gamma) + 2, \\\\ \\sin \\gamma = 5\\sin(\\alpha + \\beta + \\gamma) + 3. \\end{cases}$ 求 $\\sin \\alpha \\cdot \\sin \\beta \\cdot \\sin \\gamma$ 的所有可能值的乘积.", "answer": "\\frac{3}{512}", "subject": "代数", "unique_id": "OlymMATH-HARD-59-ZH"}
 {"problem": "设 $n \\in \\mathbf{Z}_{+}$, $n \\geqslant 2$, $a_{1}, a_{2}, \\cdots, a_{n} \\in \\mathbf{R}$, 且 $a_{1} + a_{2} + \\cdots + a_{n} = 1$. 令 $b_{k} = \\sqrt{1 - \\frac{1}{16^{k}}} \\sqrt{a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + \\cdots + a_{k}^{2}}$ $(1 \\leqslant k \\leqslant n)$. 求 $b_{1} + b_{2} + \\cdots + b_{n-1} + \\frac{4}{3} b_{n}$ 的最小值.", "answer": "\\frac{\\sqrt{15}}{3}", "subject": "代数", "unique_id": "OlymMATH-HARD-60-ZH"}
@@ -67,7 +67,7 @@
 {"problem": "设 $x \\in [0, 2\\pi]$, 求函数 $f(x) = \\sqrt{4\\cos^2x + 4\\sqrt{6}\\cos x + 6} + \\sqrt{4\\cos^2x - 8\\sqrt{6}\\cos x + 4\\sqrt{2}\\sin x + 22}$ 的最大值.", "answer": "2(\\sqrt{6}+\\sqrt{2})", "subject": "代数", "unique_id": "OlymMATH-HARD-66-ZH"}
 {"problem": "求所有的素数 $p$, 使得 $p^2 - 87p + 729$ 为完全立方数.", "answer": "2011", "subject": "数论", "unique_id": "OlymMATH-HARD-67-ZH"}
 {"problem": "对任意正实数 $a_1, a_2, \\cdots, a_5$, 若 $\\sum_{i=1}^{5}\\frac{a_i}{\\sqrt{a_i^2+2^{i-1}a_{i+1}a_{i+2}}}\\geqslant \\lambda$, 求 $\\lambda$ 的最大值.", "answer": "1", "subject": "代数", "unique_id": "OlymMATH-HARD-68-ZH"}
-{"problem": "若实数 $x$, $y$ 满足条件 $x^2 - y^2 = 4$, 求 $\\frac{1}{x^2} - \\frac{y}{x}$ 的取值范围.", "answer": "\\left[-1, \\frac{5}{4}\\right]", "subject": "代数", "unique_id": "OlymMATH-HARD-69-ZH"}
+{"problem": "若实数 $x$, $y$ 满足条件 $x^2 - y^2 = 4$, 求 $\\frac{1}{x^2} - \\frac{y}{x}$ 的取值范围.", "answer": "(-1, 1)", "subject": "代数", "unique_id": "OlymMATH-HARD-69-ZH"}
 {"problem": "求不定方程 $\\arctan \\frac{1}{m} + \\arctan \\frac{1}{n} + \\arctan \\frac{1}{p} = \\frac{\\pi}{4}$ 的正整数解的组数.", "answer": "15", "subject": "数论", "unique_id": "OlymMATH-HARD-70-ZH"}
 {"problem": "在 $\\triangle ABC$ 中, 内切圆分别与边 $AB$, $AC$ 切于点 $E$, $F$, $AD$ 为 $\\triangle ABC$ 的边 $BC$ 上的高, 且 $AE+AF=AD$. 求 $\\sin \\frac{A}{2}$ 的取值范围.", "answer": "\\left[\\frac{3}{5},\\frac{\\sqrt{2}}{2}\\right)", "subject": "几何", "unique_id": "OlymMATH-HARD-71-ZH"}
 {"problem": "已知函数 $f(x) = a(|\\sin x| + |\\cos x|) - 3\\sin 2x - 7$, 其中, $a$ 为实参数. 设数对 $(a, n)$ ($n \\in \\mathbf{Z}_{+}$), 使得函数 $y = f(x)$ 在区间 $(0, n\\pi)$ 内恰有 $2019$ 个零点, 所有这样的数对构成了集合 $S$, 求 $\\sum_{(a_0, n_0)\\in S} (a_0^2+n_0)$.", "answer": "4650", "subject": "代数", "unique_id": "OlymMATH-HARD-72-ZH"}
@@ -86,7 +86,7 @@
 {"problem": "已知 $n$ 为不大于 2021 的正整数, 且满足 $\\left( \\left[ \\sqrt{n} \\right]^2 + 1 \\right) | \\left( n^2 + 1 \\right)$, 求 $n$ 的个数.", "answer": "47", "subject": "数论", "unique_id": "OlymMATH-HARD-85-ZH"}
 {"problem": "求所有满足下述条件的有序正整数对 $(m,k)$ 的个数, 其中 $3 \\leqslant k \\leqslant 12$, $2 \\leqslant m \\leqslant 20$. 同时, 用 $m$ 进制循环小数表示 $\\frac{1}{k}$ 时, 循环节内各数字互异, 且删除小数部分前几位可以得到 $\\frac{2}{k}, \\cdots, \\frac{k-1}{k}$ 的 $m$ 进制循环小数表示.", "answer": "21", "subject": "数论", "unique_id": "OlymMATH-HARD-86-ZH"}
 {"problem": "已知正整数 $n$ 满足: 在任意连续 $n$ 个正整数中, 一定可以挑出两个数 $a$、$b(a\\neq b)$, 且存在正整数 $k$, 使得 $210|(a^k-b^k)$. 求满足条件的 $n$ 的最小值.", "answer": "9", "subject": "数论", "unique_id": "OlymMATH-HARD-87-ZH"}
-{"problem": "四面体 $ABCD$ 的顶点为 $A, B, C, D$. $M_1, \\cdots, M_6$ 为六条棱的中点. 在这 $10$ 个点中任取 $4$ 点, 求它们不共面的概率.", "answer": "\\frac{37}{70}", "subject": "组合", "unique_id": "OlymMATH-HARD-88-ZH"}
+{"problem": "四面体 $ABCD$ 的顶点为 $A, B, C, D$. $M_1, \\cdots, M_6$ 为六条棱的中点. 在这 $10$ 个点中任取 $4$ 点, 求它们不共面的概率.", "answer": "\\frac{47}{70}", "subject": "组合", "unique_id": "OlymMATH-HARD-88-ZH"}
 {"problem": "设 $a_1, a_2, a_3, a_4, a_5 \\in [0, 1]$, 求 $\\prod_{1 \\le i < j \\le 5} |a_i - a_j|$ 的最大值.", "answer": "\\frac{3\\sqrt{21}}{38416}", "subject": "代数", "unique_id": "OlymMATH-HARD-89-ZH"}
 {"problem": "求 $\\sum_{k=0}^{1234}\\binom{2016\\times 1234}{2016k}$ 在模 $2017^2$ 下的余数（回答在 $[0, 2017^2)$ 上的那个值）.", "answer": "1581330", "subject": "数论", "unique_id": "OlymMATH-HARD-90-ZH"}
 {"problem": "从左到右依次写出 $1$ 到 $10000$ 的全部正整数, 然后去掉那些能被 $5$ 或 $7$ 整除的数, 将剩下的数连成一排组成一个新数, 求新数被 $11$ 除的余数（回答在 $[0, 11)$ 上的那个值）.", "answer": "8", "subject": "数论", "unique_id": "OlymMATH-HARD-91-ZH"}