∀ {ι : Type u_1} {𝕜 : Type u_2} [inst : RCLike 𝕜] {E : Type u_3} [inst_1 : NormedAddCommGroup E]
  [inst_2 : InnerProductSpace 𝕜 E] [inst_3 : Fintype ι] [FiniteDimensional 𝕜 E] {n : ℕ},
  Module.finrank 𝕜 E = n →
    ∀ [inst_5 : DecidableEq ι] {V : ι → Submodule 𝕜 E},
      DirectSum.IsInternal V →
        (OrthogonalFamily 𝕜 (fun i => ↥(V i)) fun i => (V i).subtypeₗᵢ) →
          Fintype.card ((i : ι) × Fin (Module.finrank 𝕜 ↥(V i))) = n