∀ {ι : Type u_1} {R : Type u_2} {M : Type u_4} {N : Type u_5} [inst : CommRing R] [inst_1 : AddCommGroup M]
  [inst_2 : Module R M] [inst_3 : AddCommGroup N] [inst_4 : Module R N] (P : RootPairing ι R M N) (S : Type u_6)
  [inst_5 : CommRing S] [inst_6 : Algebra S R] [P.IsValuedIn S] [inst_8 : Module S M] [inst_9 : Module S N]
  [IsScalarTower S R M] [IsScalarTower S R N],
  ∀ x ∈ P.rootSpan S, ∀ y ∈ P.corootSpan S, (P.toLinearMap x) y ∈ (algebraMap S R).range