∀ {α : Type u_1} {M : Type u_2} {R : Type u_4} [inst : Semiring R] [inst_1 : AddCommMonoid M] [inst_2 : Module R M]
  (f : Option α →₀ R) (b : Option α → M),
  (f.sum fun o r => r • b o) = f none • b none + f.some.sum fun a r => r • b (some a)