∀ {α : Type u} [inst : LT α] [inst_1 : LE α] [DecidableLT α] [DecidableEq α],
  (∀ {x y : α}, x ≤ y → y ≤ x → x = y) →
    (∀ (x y : α), x ≤ y ∨ y ≤ x) → (∀ {x y : α}, ¬x ≤ y ↔ y < x) → ∀ (x y : α), x < y ↔ ¬y < x ∧ x ≠ y