{ι : Type u_1} →
  {R : Type u_2} →
    {A : Type u_3} →
      [inst : CommRing R] →
        [inst_1 : CommRing A] →
          [inst_2 : Algebra R A] →
            {B : ι → Submodule R A} →
              {motive : SubmodulesRingBasis B → Sort u} →
                ((inter : ∀ (i j : ι), ∃ k, B k ≤ B i ⊓ B j) →
                    (leftMul : ∀ (a : A) (i : ι), ∃ j, a • B j ≤ B i) →
                      (mul : ∀ (i : ι), ∃ j, ↑(B j) * ↑(B j) ⊆ ↑(B i)) → motive ⋯) →
                  (t : SubmodulesRingBasis B) → motive t