∀ {ι : Type u_1} {R : Type u_2} [inst : CommRing R] [inst_1 : IsDomain R] [inst_2 : IsPrincipalIdealRing R]
  {S : Type u_4} [inst_3 : CommRing S] [inst_4 : IsDomain S] [inst_5 : Algebra R S] [inst_6 : Finite ι]
  (b : Module.Basis ι R S) (I : Ideal S) (hI : I ≠ ⊥) (i : ι), (Ideal.smithCoeffs b I hI i = 0) = False