∀ {R : Type u_5} {ι : Type u_2} {ι' : Type u_1} {M₂ : Type u_3} [inst : CommSemiring R] [inst_1 : AddCommMonoid M₂]
  [inst_2 : Module R M₂] {N : ι ⊕ ι' → Type u_4} [inst_3 : (i : ι ⊕ ι') → AddCommMonoid (N i)]
  [inst_4 : (i : ι ⊕ ι') → Module R (N i)] (f : MultilinearMap R N M₂) [inst_5 : DecidableEq ι]
  (u : (i : ι) → N (Sum.inl i)) (i : ι) (x y : N (Sum.inl i)) [inst_6 : DecidableEq ι'] (m : (i : ι') → N (Sum.inr i))
  (i_1 : ι') (x_1 y_1 : N (Sum.inr i_1)),
  (f fun t => Sum.rec (Function.update u i (x + y)) (Function.update m i_1 (x_1 + y_1)) t) =
    (f fun t => Sum.rec (Function.update u i (x + y)) (Function.update m i_1 x_1) t) +
      f fun t => Sum.rec (Function.update u i (x + y)) (Function.update m i_1 y_1) t