∀ {α : Type u_1} {σ : Type u_2} {τ : Type u_3} (E : σ ≃ τ) (f : σ → Set α)
  (I : (a b : σ) → (x : α) → x ∈ f a ∩ f b → σ),
  (∀ (a b : σ) (x : α) (h : x ∈ f a ∩ f b), x ∈ f (I a b x h)) →
    ∀ (a b : τ) (x : α) (h : x ∈ f (E.symm a) ∩ f (E.symm b)), x ∈ f (E.symm (E (I (E.symm a) (E.symm b) x h)))