∀ {F : Type u_3} {E : Type u_1} {K : Type u_2} [inst : Field F] [inst_1 : Field E] [inst_2 : Field K]
  [inst_3 : Algebra F E] [inst_4 : Algebra F K] (S : Finset E) (p : Polynomial K) (α : E)
  (hα : α ∈ IntermediateField.adjoin F ↑S) (ϕ : ↥F⟮α⟯ →ₐ[F] p.SplittingField),
  let K' := p.SplittingField;
  ∀ (motive : (∃ φ, φ.comp (IntermediateField.inclusion ⋯) = ϕ) → Prop)
    (x : ∃ φ, φ.comp (IntermediateField.inclusion ⋯) = ϕ),
    (∀ (ω : ↥(IntermediateField.adjoin F ↑S) →ₐ[F] K') (hω : ω.comp (IntermediateField.inclusion ⋯) = ϕ), motive ⋯) →
      motive x