∀ {ι : Type u_4} {R : Type u_5} {M : Type u_6} {N : Type u_3} [inst : CommRing R] [inst_1 : AddCommGroup M]
  [inst_2 : Module R M] [inst_3 : AddCommGroup N] [inst_4 : Module R N] {P : RootPairing ι R M N} {ι₂ : Type u_2}
  {M₂ : Type u_7} {N₂ : Type u_1} [inst_5 : AddCommGroup M₂] [inst_6 : Module R M₂] [inst_7 : AddCommGroup N₂]
  [inst_8 : Module R N₂] (e : ι ≃ ι₂) (f : M ≃ₗ[R] M₂) (g : N ≃ₗ[R] N₂) (i j : ι₂),
  ((e.symm.toEmbedding.trans P.coroot).trans g.toAddEquiv.toEmbedding) j -
      (↑(f.symm ≪≫ₗ P.toPerfPair ≪≫ₗ g.symm.dualMap)
            (((e.symm.toEmbedding.trans P.root).trans f.toAddEquiv.toEmbedding) i))
          (((e.symm.toEmbedding.trans P.coroot).trans g.toAddEquiv.toEmbedding) j) •
        ((e.symm.toEmbedding.trans P.coroot).trans g.toAddEquiv.toEmbedding) i =
    ((e.symm.toEmbedding.trans P.coroot).trans g.toAddEquiv.toEmbedding)
      ((e.symm.trans ((P.reflectionPerm (e.symm i)).trans e)) j)