∀ {p k : ℕ} {K : Type u} [inst : Field K] {ζ : K} [hp : Fact (Nat.Prime p)] [inst_1 : CharZero K]
  [IsCyclotomicExtension {p ^ (k + 1)} ℚ K] (hζ : IsPrimitiveRoot ζ (p ^ (k + 1))) {s : ℕ},
  s ≤ k → p ≠ 2 → (Algebra.norm ℤ) (hζ.toInteger ^ p ^ s - 1) = ↑p ^ p ^ s