∀ {ι : Type u_1} {R : Type u_2} {M : Type u_3} {N : Type u_4} [inst : CommRing R] [inst_1 : AddCommGroup M]
  [inst_2 : Module R M] [inst_3 : AddCommGroup N] [inst_4 : Module R N] (P : RootPairing ι R M N)
  [inst_5 : P.EmbeddedG2] [inst_6 : Finite ι] [inst_7 : CharZero R] [inst_8 : IsDomain R] [inst_9 : P.IsIrreducible]
  (x : ↥(RootPairing.EmbeddedG2.allRoots P).toFinset),
  (RootPairing.EmbeddedG2.indexEquivAllRoots P).symm x = Exists.choose ⋯