∀ {n : ℕ} [NeZero n] {S : Set ℕ} (A : Type u) (B : Type v) [inst : CommRing A] [inst_1 : CommRing B]
  [inst_2 : Algebra A B],
  (∃ s ∈ S, s ≠ 0 ∧ n ∣ s) → ∀ [H : IsCyclotomicExtension S A B], IsCyclotomicExtension (S ∪ {n}) A B