∀ {R : Type u_1} {M : Type u_4} [inst : Semiring R] [inst_1 : AddCommMonoid M] [inst_2 : Module R M]
  (p p' : Submodule R M) {M' : Type u_8} [inst_3 : AddCommMonoid M'] [inst_4 : Module R M'] (q₁ q₁' : Submodule R M'),
  p.prod q₁ ⊓ p'.prod q₁' = (p ⊓ p').prod (q₁ ⊓ q₁')